对称性是物理学家把握真实物理系统的重要工具，利用对称性理解丰富的物相是凝聚态物理的终极目标之一。100多年以来，230个空间群和1651个磁空间群分别被认为是对非磁性和磁性晶体材料对称性的完整描述。然而，在实际磁性材料中，当关心的物理问题的能量尺度小于自旋轨道耦合时，系统展现出比磁群更高的对称性，这些对称性形成自旋空间群。其在较轻元素形成的磁性体系中尤为重要。尽管自旋空间群的分类是基础物理的重要问题，并在材料科学上有应用价值，但由于其复杂性，自20世纪70年代以来，这一领域一直没有重大突破。近年来，由于人们对磁性拓扑物态、交错磁性（altermagnetism）、非共线磁性等问题的研究兴趣日益增长，并在这些体系中发现了磁空间群难以解释的现象，使得这一悬而未决的问题变得愈加重要。

近日，北京大学物理量子材料科学中心宋志达助理教授课题组与合作者首次完成了自旋空间群的完整分类。这些群完整刻画了铁磁、反铁磁（含交错磁）、非共线磁、公度螺旋磁、非公度螺旋磁等已知磁结构。他们进一步辨识了1595个已知磁性材料的自旋空间群，并利用群论工具预测或解释了新奇的电子态，包括非常规自旋纹理（spin texture）、非点式（nonsymmorphic）布里渊区、有效π磁通等不存在于常规磁群中的新奇现象。相关研究成果以《自旋空间群：完整的分类与应用》（“Spin Space Groups: Full Classification and Applications”）为题，于2024年8月28日在线发表于《物理评论X》（Physical Review X）。

在自旋空间群中，一个对称操作由一个空间群操作和一个任意的、与群结构相容的自旋操作共同构成。其分类得以完成，是基于研究者的一个重要观察：自旋空间群可以由空间群的表示刻画。这一观点不仅极大地简化了分类的技术手段，更将无限种磁结构（包括非公度磁结构）涵盖在有限种自旋空间群中。他们发现，对于非共面的磁性材料（实空间的磁矩存在三个线性独立的方向），任何可能的自旋空间群都可以由其母空间群的三维实的不可约表示给出；对于共面磁性材料（磁矩被限制在一个平面）以及共线磁性材料（磁矩被限制在一个方向），对应的自旋空间群则分别由母空间群的二维和一维实的不可约表示给出。比如，同一个磁构型在不同的坐标选择下应该属于同一个自旋空间群，即群分类不应依赖坐标的选取；又比如，在螺旋磁性中，螺旋角度是个可以连续变化的参数，因此某些区间的螺旋角度也应视为等价的。最终，研究者发现一共存在1421个共线自旋空间群、9542个共面自旋空间群和56,612个非共面自旋空间群。

第一列：共线、共面、非共面的自旋空间群的数目，以及实际相应的实际材料的数目。括号中为构成元素都在前四周期的材料的数目。第二列：螺旋和非螺旋自旋空间群的数目。第三列：可能的非平凡的自旋纹理，以及对应材料的数目。第四列：自旋群中的新奇电子能带结构，以及对应材料的数目。这些结构都由空间群的新型射影表示给出。第五列：自旋群中可能的拓扑电子态

在完成分类之后，研究者研究了自旋空间群中的电子能带理论。电子是自旋1/2的费米子，其在旋转下会有额外的相位因子，描述它们变换规则的代数工具是群的射影表示。他们注意到，由于丰富的空间操作和自旋操作的结合方式，自旋空间群能实现一些新奇的射影表示。这导致了一些从未在磁群中出现的电子能带结构。例如，自旋空间群作用在布洛赫波矢上的效果可能是划移（glide）或者螺旋旋转（screw），仿佛在动量空间实现了非点式空间群（nonsymmorphic space group），不同的自旋空间群平移可能反对易，就如晶格中被插入了π磁通，等等。此外，他们还注意到动量空间的自旋纹理的对称性仅由自旋空间群决定，与材料细节无关。这一理论也涵盖了交错磁中的能带的自旋劈裂。在文章附录的表格中，针对每个自旋空间群，研究者都列出了其自旋纹理的对称性、有无非点式布里渊区、有无π磁通等信息。表格长达数百页，可供后来研究者查阅参考。为了应用这一理论，研究者识别了一个知名材料数据库中的1595个磁性材料的自旋空间群。值得注意的是，很多自旋空间群独有的新奇电子能带性质都在真实材料中实现了。

课题组还提出了一些由自旋空间群保护的全新拓扑物态，例如不需要自旋轨道耦合的Z_2拓扑绝缘体、表面上存在四度简并狄拉克费米子的三维拓扑绝缘体，以及存在于两个拓扑不变量相同的磁畴间的螺旋边态。

该项工作是更全面理解磁性材料的重要一步。这一突破不仅为基础研究提供了新的视角和理论工具，也能指导未来新的功能性材料设计。

北京大学物理量子材料科学中心2020级博士研究生肖振宇、西南科技大学赵建洲教授为该论文共同第一作者；宋志达为该论文的通讯作者。该论文的合作者还包括量子材料科学中心2021级博士研究生李彦琪和进藤龙一长聘副教授。研究工作得到了国家重点研发计划、国家自然科学基金委和量子科学与技术创新计划的支持。