闵嗣鹤，数学家。从事解析数论研究，在三角和估计、黎曼Ｚｅｔａ函数理论方面获重要成果，并应用数学方法解决石油工业及地质勘探中的若干重

要理论与实际问题。

闵嗣鹤，字彦群，１９１３年３月２５日生于北京，祖籍江西奉新。他的祖父闵少窗是清朝的进士，曾任大名府知府。父亲闵持正是北京公安局职员。祖父对他极其钟爱，亲自教他认字读书，学习古文，希望他长大后学文学。他从小就十分好学，在家自学了全部小学课程。１９２５年他考入北京师范大学附属中学，逐渐对数学发生了浓厚的兴趣与爱好。１９２９年夏，同时考取了北京大学和北京师范大学的理科预科，考虑到学费低离家近他选择了后者。他１９３１年升入本校数学系。在学习期间他就发表了４篇论文，并积极参加学术活动，曾负责编辑本校的《数学季刊》。１９３５年以优异成绩毕业。由于家境困难，从１７岁开始，他就一直在中学兼课。大学毕业后由老师傅种孙教授介绍到北平师范大学附中任教。他一边教书一边发愤钻研数学，写出了优秀的数论论文《相合式解数之渐近公式及应用此理以讨论奇异级数》，获得了当时为纪念高君韦女士有奖征文第一名。清华大学杨武之教授发现了这位才华出众的青年，立即于１９３７年６月聘请他去清华大学算学系当助教。接聘书不到一个月，尚未开始工作，就爆发了芦沟桥事变。清华大学南迁，先至长沙，最后在昆明与北京大学、南开大学合并成立西南联合大学。闵嗣鹤在安葬了祖父母及父亲的灵柩后，偕母亲和三个妹妹离开了北平，随清华大学先至长沙后到昆明。在西南联合大学工作的８年，是他数学事业中的一个重要时期。他曾为陈省身教授讲的黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）几何课任辅导教师，两人结下了深厚的友谊。他参加了华罗庚教授领导的数论讨论班，他自己及与华罗庚合作写出了多篇重要论文。华罗庚对他的工作给予很高的评价，在他们合作的一篇论文的底稿扉页上写下了“闵君之工作，占非常重要之地位”。从此，闵嗣鹤把数论作为自己主要的研究方向。

１９４５年他考取了公费留学，１０月到英国牛津大学，在著名数学家Ｅ．Ｃｈ．蒂奇马什（Ｔｉｔｃｈｍａｒｓｈ）指导下研究解析数论。由于他在黎曼Ｚｅｔａ函数的阶估计这一著名问题上得到了优异成果，１９４７年获得博士学位。随后他即赴美国普林斯顿高等研究院作研究工作，并参加了数学大师Ｈ．外尔（Ｗｅｙｌ）的讨论班。他在短短的一年中取得了丰富的研究成果，外尔真诚地挽留他继续在美工作，蒂奇马什也热情邀请他再去英国。但是，报效祖国、思念慈母的赤子之心促使他决定立即回国。１９４８年秋，他再次在清华大学数学系执教，任副教授，１９５０年晋升教授。１９５２年院系调整，任北京大学数学力学系教授。他曾任中国科数学研究所筹备处筹备委员，北京数学会理事等职。他的全部论著约６０余篇。

闵嗣鹤有很好的古典文学修养，喜爱书法与绘画，精通数门外语。他还是一位虔诚的基督教信徒。１９５０年他与朱敬一女士结婚，有两子三女。

对解析数论的贡献

闵嗣鹤对数学的许多分支都有研究。１９６０年以前，在主要从事数论研究之外，他的工作还涉及几何、调和分析、函数论及微分方程等。从１９６０年前后开始，他的主要研究方向转向广义解析函数、多重积分的近似计算及滤波分析。他对纯数学方面的主要贡献是在解析数论领域，特别是三角和估计理论及黎曼Ｚｅｔａ函数理论。诚如陈省身所说：“嗣鹤在解析数论的工作是中国数学的光荣。”

估计各种形式的三角和是解析数论最重要的研究课题。闵嗣鹤大学毕业后第一篇优秀的获奖论文《相合式解数之渐近公式及应用此理以讨论奇异级数》，就是证明了如下形式的完整三角和的均值估计：

其中ｐ为素数，ｅ（θ）＝ｅ２πｉθ，ｎ，ｓ是整数满足ｎ＞２，２≤ｓ≤２ｎ，以及ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ十…十ａ１ｘ是整系数多项式，满足最大公约数（ｐ，ａｎ，…，ａ１）＝１。应用这一估计他证明了：对任意整数ｍ及２＜ｓ≤２ｎ，ｓ元同余方程

　　ｆ（ｘ１）十…十ｆ（ｘｓ）≡ｍ（ｍｏｄｐ）

的解数（ｆ（ｘ），ｓ）有渐近公式

（ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－１十Ｏ（ｐｓ－１－（ｓ－２）／（ｎ－１））．这一结果优于由Ｌ．Ｊ．莫德尔（Ｍｏｒｄｅｌｌ）的著名估计

推出的渐近公式

      （ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－１十Ｏ（ｐｓ－１－（ｓ／ｎ－１））．

把上述莫德尔的著名估计推广到ｋ元整系数多项式ｆ（ｘ１，…，ｘｋ）的情形，是解析数论中具有重要理论与应用价值的课题。他先与华罗庚合作解决了ｋ＝２的情形，然后他独立解决了一般情形。

设ｓ是复变数。由级数定义的函数

除了在ｓ＝１有一个一级极点外，可以开拓为整个复平面ｓ上的解析函数。这就是通常所说的黎曼Ｚｅｔａ函数。对它的研究在解析数论中有至关重要的意义。对ζ（ｓ）有两个未解决的著名猜想：

  （ｉ）对任意给定的正数ε，有

　　ζ（１／２十ｉｔ）《（１十｜ｔ｜）ε，－∞＜ｔ＜∞，通常称为Ｅ．Ｌ．林德勒夫（Ｌｉｎｄｅｌｏｆ）猜想；

  （ｉｉ）ζ（ｓ）的无穷多个复零点全部位于直线１／２十ｉｔ（－∞＜ｔ＜∞）上，这就是黎曼猜想，是希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）第８问题的一部分，是数学中最著名的猜想之一。闵嗣鹤的许多研究工作就是紧紧联系着这两个著名猜想的。

１９４７年，闵嗣鹤通过对某种形式的二重外尔三角和

的估计方法的重要改进，证明了：对任给的正数ε有

ζ（１／２十ｉｔ）《（１十｜ｔ｜）１５／９２＋ε，－∞＜ｔ＜∞．这是他的博士论文的一部分，是一个杰出的成果。后来，他指导研究生迟宗陶、尹文霖，进一步利用他的方法，在这一问题及除数问题等方面得到了当时国际领先的成果。

设ｓ＝σ十ｉｔ，Ｎ（Ｔ）及Ｎ０（Ｔ）分别表示ζ（ｓ）在区域：０≤ｔ≤Ｔ，１／２≤σ≤１及直线：０≤ｔ≤Ｔ，σ＝１／２上的零点个数。黎曼猜想就是要证明：对任意的Ｔ≥０，Ｎ（Ｔ）＝Ｎ０（Ｔ）．１９４２年，Ａ．塞尔伯格（Ｓｅｌｂｅｒｇ）首先证明了：存在正常数Ａ使得Ｎ０（Ｔ）＞ＡＮ（Ｔ）．这样，具体定出尽可能好的常数Ａ就是一个十分重要的问题。１９５６年，闵嗣鹤首先证明了Ａ＞（６００００）－１．这一结果直到１９７４年才被Ｎ．莱温松（Ｌｅｖｉｎｓｏｎ）所改进。

在５０年代中、后期，他系统研究了黎曼Ｚｅｔａ函数的一种重要推广：设ｎ是正偶数，

他建立了这种函数的基本理论，其中部分工作是与其学生尹文霖合作完成的。

热情培育年青人　不断开拓新方向

闵嗣鹤一生热心于数学教育事业，是一位优秀的教育家。

他在大学里讲授过数学分析、复变函数、初等数论等基础课，以及解析数论等专门化课程。无论是新课还是老课，他都认真准备。他讲的课深入浅出，十分生动，循循善诱，学生非常欢迎。大家知道，数学分析教学中最重要也是最困难的部分就是极限理论。１９５３年５月，刚刚院系调整后的北京大学数学力学系为了提高教学质量，组织了全系观摩教学，由闵嗣鹤主讲《有序变量与无穷小量》。闵嗣鹤利用自己制作的玻璃教具，直观地演示了ε与δ的依赖关系，讲得通俗易懂，异常精采。听过他课的学生３０多年后回忆说，听闵先生的课就像看电影，使我们对微积分中最难学懂的部分，理解得既快又清楚。当时的《数学通报》就刊登了讲稿的部分内容。这对北京大学数学力学系以至全国高校当时的数学教学起了很好的示范推动作用。１９５７年他与严士健合著的《初等数论》，至今仍是一本初等数论的好教材。他为解析数论研究生讲课的讲稿，经整理后成为《数论的方法》（上、下册）一书而出版。这是一本很有特色的解析数论入门教材，书中包括了闵嗣鹤的一些成果。闵嗣鹤另有一部《高等微积分》讲义，未出版。

闵嗣鹤在清华大学、北京大学招收了多届解析数论研究生。１９６０年前后，他和庄圻泰在北京大学数学力学系一起领导了广义解析函数、拟保角映射及其应用的新方向的研究，为我国在这些分支方面的研究奠定基础、培养人才做出了贡献。他一贯无私地热情地指导、帮助与支持年轻的数学工作者。今天他所培养指导的这些学生已经成为我国数学界的一支重要骨干力量。这里特别值得一提的是被数学界传为佳话的他对陈景润的支持与指导。１９６６年《科学通报》第１７卷第９期（５月１５日出版）上发表了陈景润的著名论文——《大偶数表为一个素数及一个不跨越二个素数乘积之和》——的简报，陈景润一拿到这期通报，首先想到的是他的闵老师，在杂志封面上端端正正地写上了：

　　敬爱的闵老师：

　　　　非常感谢您对生的持久指导，特别是对本文的详细指导。

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　陈景润敬礼　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１９６６．５．１９．

并恭恭敬敬地送给最关心最支持他的闵老师。他们之间的联系大约始于１９６３年。陈经常去闵先生家请教，有时对问题有不同见解就热烈讨论，师生之间亲密无间，使陈获益匪浅。尤其是闵先生正直的为人，严谨的学风，不分亲疏乐于助人的精神，赢得了陈景润对他的尊敬、钦佩和无比信任。陈景润的这一研究成果对解析数论和对他本人的科研事业的重要性大家是十分清楚的，但是，对他证明的正确性有所怀疑的在国内外大有人在。陈景润原来的证明是极其复杂的，为了更有说服力，他不断地简化和改进论证，终于在６年之后——１９７２年的寒假把自己心血的结晶——厚厚的一叠原稿送请他最信任的闵老师审阅。这是一件十分繁重费神的工作，当时闵嗣鹤的身体已经很不好，心脏病经常发作，本想好好休息一下，但他知道陈的这一成果是对解析数论的一个历史性的重大贡献，是中国数学界的光荣。因此，他放弃了休息，不顾劳累与疾病，逐步细心审阅，最后判定陈景润的证明是完全正确的。闵嗣鹤高兴极了，他看到在激烈的竞争中，中华人民共和国自己培养的青年数学家，在解析数论一个最重要的问题——哥德巴赫（Ｇｏｌｄｂａｃｈ）猜想的研究上，终于又一次回到了世界领先地位。陈景润的著名论文终于在１９７３年第二期的《中国科学》上全文发表了，并立即在国际数论界引起了轰动。然而，闵嗣鹤又冷静而正确地指出：要最终解决哥德巴赫猜想还要走很长的一段路。由于在研究哥德巴赫猜想上取得的杰出成就，陈景润、王元及闵嗣鹤的研究生潘承洞集体获得了国家自然科学奖一等奖。这一荣誉的取得是和闵嗣鹤的指导、培养分不开的。

闵嗣鹤十分热心于中学数学教育和数学普及工作。早在西南联合大学期间，他经常为昆明龙渊中学开设数学讲座，有趣的数学知识受到中学生的热烈欢迎。归国后，他是《数学通报》的编委，经常写适合中学老师与中学生阅读的通俗数学文章和作科普报告。他的著名的小册子《格点与面积》生动介绍了几何数论的一些重要而有趣的基本概念和知识，是一本非常好的中学生课外数学读物。他曾多次参与或主持我国高等院校入学考试的数学命题工作，及中学生数学竞赛的命题工作，这些高质量的考题为选拔人才作出了贡献。

为石油地质勘探事业做贡献

闵嗣鹤先生一生的最后几年正值“文化大革命”，他毫不计较个人得失，把全部精力投入了我国石油、地质勘探事业，应用数学理论来解决科技理论和生产实际问题，为社会主义经济建设服务，取得了重大成就。

１９６９年他参加研制当时急需的海上勘探设备——海洋重力仪，这是北京大学数学力学系与北京地质仪器厂的合作科研项目。由于西方禁运，资料缺乏，工作困难很大。设计该设备的理论关键是滤波问题，要在理论上保证所设计的重力仪能成功地从五万倍强噪声背景中提取出有用的微弱信号。他先是完成了“数字滤波的若干分析问题”等研究，最后提出了“契贝谢夫权系数的数字滤波方法”，从理论上解决了设计中的关键问题。由此设计制造出的仪器定名为ＺＹ－Ｉ型海洋重力仪，历经５年海上实验于１９７５年通过国家鉴定，其性能远远优于日本依据３次平均法设计制造的“东京ａ－１号”，成为我国大面积海洋普查的先进工具。

从１９７１年１０月起，闵嗣鹤参加了石油部的数字地震勘探工作。当时他的心脏病已日趋严重，但为了收集第一手资料，他不顾个人安危深入生产第一线，亲赴海上勘探基地。当他看到我国海洋石油勘探开发事业的壮观景象时，高兴得忘了病痛，以《出海》为题欣然赋诗一首，抒发自己的远大抱负和民族自豪感：

轻舟出海浪涛涛，听炮观涛兴致高。

鱼嫩菜香都味美，风和雨细胜篮摇。

东洋技术为我用，渤海方船更自豪。

一日往还学大庆，算法如今要赶超。

在各种地震勘探的学术会议和讨论班上，他作报告，介绍国外经验，提出自己的新看法与新成果。在他的指导、帮助和直接参加下，为我国数字石油勘探首创了一套数学方法，解决了一系列生产关键问题，培养了一批技术骨干。为了普及科学知识，他还经常带病为工人和技术人员讲课。在这期间他写出了多篇有关数值滤波与地震数字处理的研究论文，主编了教材《地震勘探数字技术》。这一切为我国石油工业的可喜发展作出了贡献。然而，他的健康状况愈来愈坏了。但在疾病面前他丝毫没有退却，始终坚持工作。在去世前一个月，他还在北京大学为石油部开办数字地震勘探技术训练班。由于紧张、劳累、日以继夜地忘我工作，他终于病倒，住进了北京大医院。在病床上他还在修改即将出版的《地震勘探数字技术》书稿，并对劝他休息的爱人和子女说：“你们不要干扰我，我还有很多任务没有做完，心里总是不安宁。”在生命的最后一天，还忍着病痛找来技术人员反复研讨数字地震勘探技术中急需解决的数学关键问题，使问题终于获得满意的解决。１９７３年１０月１０日，闵嗣鹤终因劳累过度心脏病猝发而去世，终年仅６０岁。他的一生是默默耕耘、无私奉献的一生。闵嗣鹤先生过早地不幸去世是我国数学界和石油科技界的一大损失。

闵嗣鹤先生的老师、同事和学生们都时刻深情地怀念着他，在他逝世１５周年时，于１９８８年９月２６日至２８日在山东大学举行了“纪念闵嗣鹤教授学术报告会”，决定出版《闵嗣鹤论文选集》及会议论文选集。周培源先生为《闵嗣鹤论文选集》题写书名并作序。序中说：“闵先生是我国著名数学家、优秀的教育家，他热爱社会主义祖国、热爱科学，将一生奉献给了理想与事业。”

 

简历

　　１９１３年３月２５日　出生于北京市。

　　１９２９年夏　取北京师范大学理科预科，１９３１年升入数学系。

　　１９３５年　北京师范大学数学系毕业。

　　１９３５—１９３７年　在北平师范大学附中任教。

　　１９３７—１９４５年　先受聘任清华大学算学系助教，后转至昆明西南联合大学任教。

　　１９４５年　留学英国牛津大学。

　　１９４７年　获牛津大学博士学位。

　　１９４７—１９４８年　在美国普林斯顿高等研究院作研究工作。

　　１９４７年秋　回国任清华大学数学系副教授，１９５０年任教授。

　　１９５２—１９７３年　任北京大学数学力学系教授。

　　１９７３年１０月１０日　逝世于北京。